Ecuaciones diferenciales separacion de variables

Calculadora de ecuaciones diferenciales con separación de variables

En matemáticas, la separación de variables (también conocida como el método de Fourier) es uno de los varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, en el que el álgebra permite reescribir una ecuación para que cada una de las dos variables se encuentre en un lado diferente de la ecuación.
dx (y dy) puede considerarse, a un nivel simple, como una notación conveniente, que proporciona una ayuda mnemotécnica útil para ayudar a las manipulaciones. Una definición formal de dx como diferencial (infinitesimal) es algo avanzada.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)dP=\int k\, dt\\\N[6pt]&\ln |P|-\ln |K-P|=kt+C\\N[6pt]&\ln |K-P|-\ln |P|=-kt-C\\N[6pt]&\ln \N-izquierda|{cfrac {K-P}{P}{directo}=-kt-C\\N[6pt]&\left|{dfrac {K- P}{P}}\right|=e^{-kt-C}\\[6pt]&\left|{\dfrac {K-P}{P}}\right|=e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}\end{aligned}}}
Así, cuando se separan las variables para las ecuaciones de primer orden, de hecho se mueve el denominador dx del operador al lado con la variable x, y el d(y) se deja en el lado con la variable y. El operador de segunda derivada, por analogía, se descompone como sigue:

Ejemplos de separación de variables

Estoy tratando de repasar mis conocimientos de ecuaciones diferenciales para un próximo examen. He visto una serie de vídeos y he leído algunos artículos sobre cómo resolver ecuaciones diferenciales mediante algunos métodos diferentes. Uno de ellos era el de la separación de variables. Incluye la separación de todos los términos y y x en cada lado de las ecuaciones y luego resolverlas integrando ambos lados.
La forma en que el autor ha escrito este artículo es perfecta para mi caso, sin embargo el problema es que las ecuaciones no se representan bien lo que no me ayuda a entenderlo. Faltan operadores, signos y otras cosas que dificultan la comprensión.
Una de las formas más sencillas de resolver una ecuación diferencial es aquella en la que las variables se pueden separar a ambos lados de la igualdad. Este tipo de ecuaciones aparecen con frecuencia en la ciencia y la ingeniería, y suelen ser los primeros problemas de este tipo que se enseñan a los estudiantes.
En este artículo intentaré describir cómo podemos tratar la separación de variables sin jugar a las diferencias. Al hacerlo, espero proporcionar una idea de lo que ocurre entre bastidores cuando seguimos el método que se suele enseñar. Los argumentos de este artículo se aplican también a otros procedimientos de cálculo que parecen basarse en el tratamiento de un operador diferencial como un cociente, como la integración por sustitución en U.

Ecuación diferencial lineal

A continuación examinaremos una técnica de solución para encontrar soluciones exactas a una clase de ecuaciones diferenciales conocidas como ecuaciones diferenciales separables. Estas ecuaciones son comunes en una amplia variedad de disciplinas, incluyendo la física, la química y la ingeniería. Al final de la sección ilustramos algunas aplicaciones.
El término «separable» se refiere al hecho de que el lado derecho de la ecuación \ref{sep} puede separarse en una función de \(x\) por una función de \(y\). Ejemplos de ecuaciones diferenciales separables son
La ecuación \ref{eq2} es separable con \(f(x)=6x^2+4x\) y \(g(y)=1\), La ecuación \ref{eq3} es separable con \(f(x)=1\) y \(g(y)=sec y+\tan y, \) y el lado derecho de la ecuación \ref{eq4} se puede factorizar como \((x+3)(y-2)\), por lo que es separable también. La ecuación \ref{eq3} también se llama una ecuación diferencial autónoma porque el lado derecho de la ecuación es una función de \(y\) solamente. Si una ecuación diferencial es separable, entonces es posible resolver la ecuación utilizando el método de separación de variables.

Ecuación diferencial parcial

Una vez hecho esto, todo lo que se necesita para resolver la ecuación es integrar ambos lados. Por lo tanto, el método para resolver ecuaciones separables puede resumirse como sigue: Separar las variables e integrar.
Aunque el problema parece terminado, existe otra solución de la ecuación diferencial dada que no está descrita por la familia ½ y -2 = x -1 + x + c. En el paso de separación marcado (†), ambos lados se dividieron por y 3. Esta operación impedía derivar y = 0 como solución (ya que la división por cero está prohibida). Sin embargo, resulta que y = 0 es una solución de la ecuación diferencial dada, como puedes comprobar fácilmente (nota: y = 0 ⇒ dy = 0).
Si ambos lados de una ecuación diferencial separable se dividen por alguna función f( y) (es decir, una función de la variable dependiente) durante el proceso de separación, entonces se puede perder una solución válida. Como paso final, debe comprobar si la función constante y = y 0 [donde f( y 0) = 0] es realmente una solución de la ecuación diferencial dada. Si lo es, y si la familia de soluciones encontrada al integrar ambos lados de la ecuación separada no incluye esta función constante, entonces esta solución adicional debe ser declarada por separado para completar el problema.

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