Derivadas de funciones logaritmicas y exponenciales

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas (problemas de práctica pdf)

Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluyendo funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Como se discutió en Introducción a las funciones y gráficas, las funciones exponenciales juegan un papel importante en la modelización del crecimiento de la población y la descomposición de los materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son particularmente útiles para reescribir expresiones complicadas.
Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos encontrar las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. Al desarrollar estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estas suposiciones se mantienen están fuera del alcance de este curso.
En primer lugar, comenzamos con la suposición de que la función \(B(x)=b^x,b>0,\Nestá definida para todo número real y es continua. En cursos anteriores, se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales -empezando por la definición de \(b^n\), donde \(n\) es un número entero positivo- como el producto de \(b\) multiplicado por sí mismo \(n\) veces. Posteriormente, definimos \(b^0=1,b^{-n}=\frac{1}{b^n}}), para un entero positivo \(n\), y \(b^{s/t}=(\sqrt[t]{b})^s\) para enteros positivos \(s\) y \(t\). Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de br cuando r es un número real arbitrario. Asumiendo la continuidad de \(B(x)=b^x,b>0\), podemos interpretar \(b^r\) como \(\displaystyle \lim_{x→r}b^x\) donde los valores de \(x\) a medida que tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver a \(4^π\) como el número que satisface

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales calculadora

EL SISTEMA DE LOGARITMOS NATURALES tiene como base el número llamado e; es el sistema que utilizamos en todo el trabajo teórico. (El sistema de logaritmos naturales contrasta con el sistema de logaritmos comunes, que tiene como base 10 y se utiliza para la mayoría de los trabajos prácticos.
¿Qué implica esto?    Implica el significado de crecimiento exponencial.    Porque decimos que una cantidad crece «exponencialmente» cuando lo hace a un ritmo proporcional a su tamaño. Cuanto más grande es en un momento dado, más rápido crece en ese momento. Un ejemplo típico es la población. Cuantos más individuos haya, más nacimientos habrá y, por tanto, mayor será la tasa de variación de la población: el número de nacimientos en cada año.

Hoja de trabajo de derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluyendo funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Como se discutió en Introducción a las funciones y gráficas, las funciones exponenciales juegan un papel importante en la modelización del crecimiento de la población y la descomposición de los materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son particularmente útiles para reescribir expresiones complicadas.
Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos encontrar las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. Al desarrollar estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estas suposiciones se mantienen están fuera del alcance de este curso.
También suponemos que para B(x)=bx,b>0,B(x)=bx,b>0, existe el valor B′(0)B′(0) de la derivada. En esta sección, mostramos que haciendo esta suposición adicional, es posible demostrar que la función B(x)B(x) es diferenciable en todas partes.

Hoja de trabajo de derivadas de funciones exponenciales

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}ln(x)=lim _{h}{a 0} {\frac {\ln(x+h)- \ln(x)}=lim _{h}a 0}{\frac {1}{h}}\ln(x+h}\ln(derecha)=lim _{h}a 0}\ln({\frac {x+h}{x}}\ln(derecha)^{\ln(1}{h}}
(1+1}{n}{punto de vista}) ^{frac {n}{x}}={frac {1}{punto de vista}{punto de vista}) \left(\lim _{n}\\a \infty }left(1+{\frac {1}{n}\a la derecha)^{n}\a la derecha)={frac {1}{x}\a la izquierda(e)={{frac {1}{x}}
Una aproximación alternativa a la derivada del logaritmo se refiere a la expresión original del logaritmo como cuadratura de la hipérbola y = 1/x . Esta aproximación se describe en una extensión del precálculo en § 1.7.
Podemos utilizar las propiedades del logaritmo, en particular el logaritmo natural, para diferenciar funciones más difíciles, como productos con muchos términos, cocientes de funciones compuestas o funciones con exponentes variables o funciones. Lo hacemos tomando el logaritmo natural de ambos lados, reordenando los términos usando las leyes de los logaritmos que aparecen a continuación, y luego diferenciando ambos lados implícitamente, antes de multiplicar por

Acerca del autor

admin

Ver todos los artículos