4.8 cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de taylor

4.8 cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de taylor

Resolución de ecuaciones trigonométricas en la ti-nspire cas

En matemáticas, la serie de Taylor de una función es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un solo punto. Para la mayoría de las funciones comunes, la función y la suma de su serie de Taylor son iguales cerca de este punto. Las series de Taylor reciben su nombre de Brook Taylor, que las introdujo en 1715.
Si el cero es el punto en el que se consideran las derivadas, una serie de Taylor también se llama serie de Maclaurin, en honor a Colin Maclaurin, que utilizó ampliamente este caso especial de serie de Taylor en el siglo XVIII.
La suma parcial formada por los primeros n + 1 términos de una serie de Taylor es un polinomio de grado n que se denomina nº polinomio de Taylor de la función. Los polinomios de Taylor son aproximaciones de una función, que se vuelven generalmente mejores a medida que aumenta n. El teorema de Taylor proporciona estimaciones cuantitativas sobre el error introducido por el uso de tales aproximaciones. Si la serie de Taylor de una función es convergente, su suma es el límite de la secuencia infinita de los polinomios de Taylor. Una función puede diferir de la suma de su serie de Taylor, incluso si su serie de Taylor es convergente. Una función es analítica en un punto x si es igual a la suma de sus series de Taylor en algún intervalo abierto (o disco abierto en el plano complejo) que contenga a x. Esto implica que la función es analítica en cada punto del intervalo (o disco).

Serie de taylor expandir x^2y+3y-2 en las potencias de x-1 y

En la sección anterior, definimos las series de Taylor y mostramos cómo encontrar las series de Taylor para varias funciones comunes calculando explícitamente los coeficientes de los polinomios de Taylor. En esta sección mostramos cómo utilizar esas series de Taylor para derivar series de Taylor para otras funciones. A continuación, presentamos dos aplicaciones comunes de las series de potencias. En primer lugar, mostramos cómo las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, mostramos cómo las series de potencias pueden utilizarse para evaluar integrales cuando la antiderivada del integrando no puede expresarse en términos de funciones elementales. En un ejemplo, consideramos una integral que surge frecuentemente en la teoría de la probabilidad.
Nuestro primer objetivo en esta sección es determinar la serie de Maclaurin para la función para todos los números reales La serie de Maclaurin para esta función se conoce como la serie binomial. Comenzamos considerando el caso más sencillo: es un número entero no negativo. Recordamos que, para se puede escribir como
Las expresiones del lado derecho se conocen como expansiones binomiales y los coeficientes se conocen como coeficientes binomiales. Más generalmente, para cualquier entero no negativo el coeficiente binomial de en la expansión binomial de viene dado por

Ley de gauss en forma diferencial

El cálculo es una parte fundamental de cualquier tipo de ejercicio estadístico. Aunque es posible que en su trabajo diario como analista no tenga que tomar derivadas e integrales, el cálculo es la base de muchos conceptos que utilizamos: maximización, expectativa y probabilidad acumulada.
La media de una cantidad es un tipo de media ponderada, en la que los valores potenciales se ponderan por su probabilidad, en términos generales. La integral es en realidad una forma general de describir esta media ponderada cuando hay conceptualmente un número infinito de valores potenciales.
La derivada de \(f\) en \(x\) es su tasa de cambio en \(x\): cuánto cambia \(f(x)\) con un cambio en \(x\). La tasa de cambio es una fracción -subida sobre bajada-, pero como no todas las líneas son rectas y la fórmula de subida sobre bajada nos dará valores diferentes según el rango que examinemos, tenemos que tomar un límite (Sección 2).
Si \(f(x)\Nes una recta, la derivada es la pendiente. Para una curva, la pendiente cambia por los valores de \(x\), por lo que la derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en \(x\). Véase, por ejemplo, la figura 3.1.

Serie de maclaurin log(secx)

En la sección anterior, definimos las series de Taylor y mostramos cómo encontrar las series de Taylor para varias funciones comunes calculando explícitamente los coeficientes de los polinomios de Taylor. En esta sección mostramos cómo utilizar esas series de Taylor para derivar series de Taylor para otras funciones. A continuación, presentamos dos aplicaciones comunes de las series de potencias. En primer lugar, mostramos cómo las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, mostramos cómo las series de potencias pueden utilizarse para evaluar integrales cuando la antiderivada del integrando no puede expresarse en términos de funciones elementales. En un ejemplo, consideramos \( \int e^{-x^2}dx,\) una integral que surge frecuentemente en la teoría de la probabilidad.
Nuestro primer objetivo en esta sección es determinar la serie de Maclaurin para la función \( f(x)=(1+x)^r\) para todos los números reales \( r\). La serie de Maclaurin para esta función se conoce como serie binomial. Comenzamos considerando el caso más sencillo: \( r\) es un número entero no negativo. Recordamos que, para \( r=0,1,2,3,4,f(x)=(1+x)^r\) puede escribirse como

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