Teorema de existencia y unicidad

Teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

Aunque existen métodos para resolver algunas ecuaciones no lineales, es imposible encontrar fórmulas útiles para las soluciones de la mayoría. Tanto si buscamos soluciones exactas como aproximaciones numéricas, es útil conocer las condiciones que implican la existencia y unicidad de las soluciones de los problemas de valor inicial de las ecuaciones no lineales. En esta sección enunciamos tal condición y la ilustramos con ejemplos.
El siguiente teorema da condiciones suficientes para la existencia y unicidad de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Omitimos la demostración, que está fuera del alcance de este libro.
que difieren en cada intervalo abierto que contiene a \(b\). Por lo tanto \(f\) o \(f_y\) debe tener una discontinuidad en algún punto de cada rectángulo abierto que contenga \((b, y)\), ya que si no fuera así, \ref{ec:2.3.2} tendría una solución única en algún intervalo abierto que contenga \(b\). Dejamos que se haga un análisis similar para el caso en que \(a > -∞\\}).

Prueba del teorema de existencia y unicidad

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En matemáticas y lógica, el término “unicidad” se refiere a la propiedad de ser el único objeto que satisface una determinada condición[1][2] Este tipo de cuantificación se conoce como cuantificación de unicidad o cuantificación existencial única, y a menudo se denota con los símbolos “∃!”[3] o “∃=1”. Por ejemplo, el enunciado formal
La técnica más común para demostrar la existencia única de un determinado objeto es demostrar primero la existencia de la entidad con la condición deseada, y luego demostrar que dos entidades cualesquiera (digamos,
En general, hay que demostrar tanto la existencia (existe al menos un objeto) como la unicidad (existe como máximo un objeto) para concluir que existe exactamente un objeto que satisface dicha condición.

Ejemplos de teoremas de existencia y unicidad

Utilizando el teorema del punto fijo de Banach y el teorema del punto fijo en un cono se establecen algunos resultados de existencia y unicidad de las soluciones.Zhang en [17] estudió el problema de valor inicial singular para la ecuación diferencial fraccionaria mediante la alternativa no lineal del teorema de Leray-Schauder:
En las dos ecuaciones anteriores, se define , donde , y , , es la derivada fraccional estándar de Riemann-Liouville.McRae en [14] estudió el problema de valor inicial por el método de las soluciones superiores e inferiores y la técnica iterativa monótona:
donde , , y , , es la derivada fraccionaria estándar de Riemann-Liouville y es una función continua dada.Dado que se supone continua, la PIV (1.4) es equivalente a la siguiente ecuación integral fraccionaria de Volterra:
En la sección 2, damos algunas definiciones y lemas que serán útiles para nuestros principales resultados. En la Sección 3, utilizaremos la teoría básica de la ecuación diferencial, el método de las soluciones superiores e inferiores, y la técnica iterativa monótona para investigar el problema de valor inicial (1.4), y se establecen algunos resultados de existencia y unicidad. En la sección 4, se presenta un ejemplo para ilustrar los principales resultados.2. PreliminaresEn esta sección, necesitamos las siguientes definiciones y lemas que serán útiles para nuestros principales resultados. Estos materiales se pueden encontrar en la literatura reciente; véase [1, 11, 16].Definición 2.1 (véase [1]). Sea un intervalo finito en el eje real . Las integrales fraccionarias de Riemann-Liouville y de orden están definidas por

Teorema de existencia y unicidad del álgebra lineal

Supongamos que f es uniformemente continua de Lipschitz en y (lo que significa que la constante de Lipschitz puede tomarse independientemente de t) y continua en t, entonces para algún valor ε > 0, existe una solución única y(t) al problema de valor inicial en el intervalo
La prueba se basa en la transformación de la ecuación diferencial y en la aplicación de la teoría del punto fijo. Integrando ambos lados, cualquier función que satisfaga la ecuación diferencial debe satisfacer también la ecuación integral
), la solución estacionaria es y(t) = 0, que se obtiene para la condición inicial y(0) = 0. A partir de otra condición inicial y(0) = y0 ≠ 0, la solución y(t) tiende hacia el punto estacionario, pero lo alcanza sólo en el límite del tiempo infinito, por lo que la unicidad de las soluciones (sobre todos los tiempos finitos) está garantizada.
Sin embargo, para una ecuación en la que la solución estacionaria se alcanza después de un tiempo finito, la unicidad falla. Esto ocurre, por ejemplo, con la ecuación dy/dt = ay 2/3, que tiene al menos dos soluciones correspondientes a la condición inicial y(0) = 0 como: y(t) = 0 o

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