Serie de potencias ejercicios resueltos

Serie de potencias ejercicios resueltos 2020

Solución: Falso. Implicaría que \(\displaystyle a_nx^n→0\) para \(\displaystyle |x|<R\). Si \(\displaystyle a_n=n^n), entonces \(\displaystyle a_nx^n=(nx)^n\) no tiende a cero para cualquier \(\displaystyle x≠0\).
4) Si \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nx^n\) tiene radio de convergencia \(\displaystyle R>0\) y si \(\displaystyle |b_n|≤|a_n|\) para todo \(\displaystyle n\), entonces el radio de convergencia de \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_nx^n\) es mayor o igual que \(\displaystyle R\).
5) Supongamos que \N(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(x-3)^n\) converge en \N(\displaystyle x=6\N). ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utiliza el hecho de que si \N(\displaystyle \sum a_n(x-c)^n\) converge en \N(\displaystyle x\), entonces converge en cualquier punto más cercano a \N(\displaystyle c\) que a \N(\displaystyle x\).
6) Supongamos que \N(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(x+1)^n\) converge en \N(\displaystyle x=-2\). ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utiliza el hecho de que si la serie a_n(x-c)^n\Nconverge en \N(\Nel estilo de la pantalla x), entonces converge en cualquier punto más cercano a \N(\Nel estilo de la pantalla c\N) que a \N(\Nel estilo de la pantalla x\N).

Solución de series de potencias de ecuaciones diferenciales

Hasta ahora, nuestro estudio de las series ha examinado la cuestión de “¿Es la suma de estos términos infinitos finita?”, es decir, “¿Converge la serie?” Ahora abordamos las series desde una perspectiva diferente: como una función. Dado un valor de x, evaluamos f(x) encontrando la suma de una serie particular que depende de x (suponiendo que la serie converge). Comenzamos este nuevo enfoque de las series con una definición.
Introducimos las series de potencias como un tipo de función, donde se da un valor de x y se devuelve la suma de una serie. Por supuesto, no todas las series convergen. Por ejemplo, en la parte 1 del ejemplo 9.8.1, reconocimos la serie ∑n=0∞xn como una serie geométrica en x. El teorema 9.2.1 establece que esta serie converge sólo cuando |x|<1.
El teorema 9.8.2 nos permite encontrar el radio de convergencia R de una serie aplicando la prueba de la razón (o cualquier prueba aplicable) al valor absoluto de los términos de la serie. Practicamos esto en el siguiente ejemplo.
El ejemplo anterior mostraba cómo tomar la derivada y la integral indefinida de una serie de potencias sin motivar por qué nos importan esas operaciones. Puede que nos importe por el mero placer matemático de “poder hacerlo”, que es motivación suficiente para muchos. Sin embargo, sería negligente no reconocer que podemos aprender mucho tomando derivadas e integrales indefinidas.

Problemas y soluciones de series de taylor pdf

Supongamos que la prueba de la razón se aplica a una serie \( \sum_{k=0}^\infty a_k x^k\). Demuestre, utilizando la prueba de la razón, que el radio de convergencia de la serie diferenciada es el mismo que el de la serie original.
En los siguientes ejercicios, cuando se le pida que resuelva una ecuación utilizando los métodos de las series de potencias, debe encontrar los primeros términos de la serie y, si es posible, encontrar una fórmula general para el coeficiente \(k^{text{th}}).
Intenta resolver \(x^2 y” – y = 0\) en \(x_0 = 0\) utilizando el método de series de potencias de esta sección (\(x_0\) es un punto singular). ¿Puedes encontrar al menos una solución? ¿Puedes encontrar más de una solución?

Ejemplos del método de las series de potencias

En Introducción a las series de potencias, estudiamos cómo las funciones pueden representarse como series de potencias, También vimos que podemos encontrar representaciones en serie de las derivadas de dichas funciones diferenciando la serie de potencias término a término. Esto da y En algunos casos, estas representaciones de series de potencias se pueden utilizar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales.
Tenga en cuenta que este tema sólo se trata brevemente en este texto. La mayoría de los libros de texto de introducción a las ecuaciones diferenciales incluyen un capítulo entero sobre las soluciones de las series de potencias. Este texto sólo tiene una sección sobre el tema, por lo que varias cuestiones importantes no se abordan aquí, en particular las cuestiones relacionadas con la existencia de soluciones. Los ejemplos y ejercicios de esta sección se han elegido para los que existen soluciones de potencia. Sin embargo, no siempre existen soluciones de potencia. Aquellos que estén interesados en un tratamiento más riguroso de este tema deberán consultar un texto de ecuaciones diferenciales.

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