Representacion de funciones mediante la serie de taylor

Representacion de funciones mediante la serie de taylor

Encontrar un polinomio de taylor para aproximar una función, ej. 2

En las dos secciones anteriores discutimos cómo encontrar representaciones de series de potencias para ciertos tipos de funciones, específicamente, funciones relacionadas con series geométricas. Aquí discutimos las representaciones de series de potencias para otros tipos de funciones. En particular, abordamos las siguientes cuestiones: ¿Qué funciones pueden representarse mediante series de potencias y cómo podemos encontrar dichas representaciones? Si podemos encontrar una representación en serie de potencias para una función concreta \(f\) y la serie converge en algún intervalo, ¿cómo demostramos que la serie converge realmente a \(f\)?
¿Cuáles deberían ser los coeficientes? Por ahora, ignoramos las cuestiones de convergencia y nos centramos en lo que debería ser la serie, si es que existe. Volveremos a discutir la convergencia más adelante en esta sección. Si la serie Ecuación \ref{eq1} es una representación para \(f\) en \(x=a\), ciertamente queremos que la serie sea igual a \(f(a)\) en \(x=a\). Evaluando la serie en \(x=a\), vemos que
Por tanto, la serie es igual a \(f(a)\Nsi el coeficiente \N(c_0=f(a)\Nes igual.) Además, queremos que la primera derivada de la serie de potencias sea igual a \(f′(a)\N) en \N(x=a\N). Diferenciando la ecuación \ref{eq2} término a término, vemos que

Series de potencias – representación de funciones – cálculo 2

En matemáticas, la serie de Taylor de una función es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un único punto. Para la mayoría de las funciones comunes, la función y la suma de su serie de Taylor son iguales cerca de este punto. Las series de Taylor deben su nombre a Brook Taylor, que las introdujo en 1715.
Si el cero es el punto en el que se consideran las derivadas, una serie de Taylor también se llama serie de Maclaurin, en honor a Colin Maclaurin, que utilizó ampliamente este caso especial de serie de Taylor en el siglo XVIII.
La suma parcial formada por los primeros n + 1 términos de una serie de Taylor es un polinomio de grado n que se denomina nº polinomio de Taylor de la función. Los polinomios de Taylor son aproximaciones de una función, que se vuelven generalmente mejores a medida que aumenta n. El teorema de Taylor proporciona estimaciones cuantitativas sobre el error introducido por el uso de tales aproximaciones. Si la serie de Taylor de una función es convergente, su suma es el límite de la secuencia infinita de los polinomios de Taylor. Una función puede diferir de la suma de su serie de Taylor, incluso si su serie de Taylor es convergente. Una función es analítica en un punto x si es igual a la suma de sus series de Taylor en algún intervalo abierto (o disco abierto en el plano complejo) que contenga a x. Esto implica que la función es analítica en cada punto del intervalo (o disco).

Encontrar una expansión de la serie de maclaurin – otro ejemplo 1

donde cnc_{n}cn son los coeficientes de cada término de la serie y aaa es una constante. Las series de potencias son importantes porque podemos utilizarlas para representar una función. Por ejemplo, la representación en serie de potencias de la función f(x)=1(1-x)(para∣x∣f(x) = \frac{1}{(1-x)} (para |x|f(x)=(1-x)1(para∣x∣ < 1)1) es
donde a=1a = 1a=1 y cn=1c_{n} = 1cn=1.Sin embargo, ¿qué pasa si quiero encontrar una representación en serie de potencias para la integral de 1(1-x)\frac{1}{(1-x)}(1-x)1? Todo lo que hay que hacer es integrar la serie de potencias.
Aquí es donde entran en juego las series de Taylor y Maclaurin. Las series de Taylor y Maclaurin son muy importantes cuando queremos expresar una función como una serie de potencias. ¡Por ejemplo, exe^{x}ex y cosx\cos xcosx se pueden expresar como una serie de potencias! En primer lugar, examinaremos qué son las series de Taylor, y luego utilizaremos la expansión de las series de Taylor para encontrar los primeros términos de la serie. Luego aprenderemos a representar alguna función como una serie de Taylor, e incluso a diferenciarlas o integrarlas. Por último, veremos cómo derivar polinomios de Taylor a partir de series de Taylor, y luego usarlos para aproximar funciones. Obsérvese que también veremos las series de Maclaurin.

Series de taylor y maclaurin – ejemplo 1

En las dos secciones anteriores hemos discutido cómo encontrar representaciones de series de potencias para ciertos tipos de funciones–específicamente, funciones relacionadas con series geométricas. Aquí discutimos las representaciones de series de potencias para otros tipos de funciones. En particular, abordamos las siguientes cuestiones: ¿Qué funciones pueden representarse mediante series de potencias y cómo podemos encontrar dichas representaciones? Si podemos encontrar una representación en serie de potencias para una función concreta y la serie converge en algún intervalo, ¿cómo demostramos que la serie converge realmente en
¿Cuáles deberían ser los coeficientes? Por ahora, ignoramos las cuestiones de convergencia y nos centramos en lo que debería ser la serie, si es que existe. Volveremos a discutir la convergencia más adelante en esta sección. Si la serie (Figura) es una representación de at, ciertamente queremos que la serie sea igual a Evaluando la serie en vemos que
Por lo tanto, la derivada de la serie es igual a si el coeficiente Continuando de esta manera, buscamos coeficientes cn tales que todas las derivadas de la serie de potencias (Figura) coincidan con todas las derivadas correspondientes de at Las derivadas segunda y tercera de (Figura) vienen dadas por

Acerca del autor

admin

Ver todos los artículos