Producto punto y producto cruz

Productos cruzados a la luz de las transformaciones lineales

Dados dos vectores linealmente independientes a y b, el producto cruzado, a × b (léase “a cruzar b”), es un vector que es perpendicular a ambos, a y b,[2] y por tanto normal al plano que los contiene. Tiene muchas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería y programación informática. No debe confundirse con el producto punto (producto de proyección).
Si dos vectores tienen la misma dirección o tienen la dirección exactamente opuesta el uno del otro (es decir, no son linealmente independientes), o si alguno de ellos tiene longitud cero, entonces su producto cruzado es cero[3] De forma más general, la magnitud del producto es igual al área de un paralelogramo con los vectores por lados; en particular, la magnitud del producto de dos vectores perpendiculares es el producto de sus longitudes.
Al igual que el producto punto, depende de la métrica del espacio euclidiano, pero a diferencia del producto punto, también depende de la elección de la orientación o “handedness”. El producto puede generalizarse de varias maneras; puede hacerse independiente de la orientación cambiando el resultado a un pseudovector, o el producto exterior de vectores puede utilizarse en dimensiones arbitrarias con un resultado bivectorial o de 2 formas. Además, utilizando la orientación y la estructura métrica igual que para el producto cruzado tradicional de 3 dimensiones, se puede, en n dimensiones, tomar el producto de n – 1 vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos. Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, sólo existe en tres y siete dimensiones[4] (Véase § Generalizaciones, más adelante, para otras dimensiones).

Producto cruzado y producto punto: explicación visual

Al igual que el producto cruzado en tres dimensiones, el producto de siete dimensiones es anticonmutativo y a × b es ortogonal tanto a como a b. A diferencia de lo que ocurre en tres dimensiones, no satisface la identidad de Jacobi, y mientras que el producto cruzado tridimensional es único hasta un signo, hay muchos productos cruzados de siete dimensiones. El producto cruzado de siete dimensiones tiene la misma relación con los octoniones que el producto de tres dimensiones con los cuaterniones.
El producto cruzado de siete dimensiones es una forma de generalizar el producto cruzado a otras dimensiones distintas de la tridimensional, y es el único otro producto bilineal de dos vectores que tiene valor vectorial, es ortogonal y tiene la misma magnitud que en el caso tridimensional[2] En otras dimensiones hay productos con valor vectorial de tres o más vectores que satisfacen estas condiciones, y productos binarios con resultados bivectoriales.
El producto puede venir dado por una tabla de multiplicación, como la que se muestra aquí. Esta tabla, debida a Cayley,[3][4] da el producto de los vectores de base ortonormal ei y ej para cada i, j de 1 a 7. Por ejemplo, a partir de la tabla

El producto cruzado

Este artículo trata de las operaciones ternarias sobre vectores. Para la identidad en teoría de números, véase el triple producto de Jacobi. Para la regla de la cadena de cálculo para tres variables interdependientes, véase Regla del triple producto. Para el producto en la fusión nuclear, véase el criterio de Lawson.
En geometría y álgebra, el triple producto es un producto de tres vectores tridimensionales, normalmente vectores euclidianos. El nombre “producto triple” se utiliza para dos productos diferentes, el producto triple escalar-valorado y, con menos frecuencia, el producto triple vectorial-valorado.
es el volumen (con signo) del paralelepípedo definido por los tres vectores dados. En este caso, los paréntesis pueden omitirse sin causar ambigüedad, ya que el producto punto no puede evaluarse primero. Si se hiciera, quedaría el producto cruzado de un escalar y un vector, que no está definido.
Aunque el triple producto escalar da el volumen del paralelepípedo, es el volumen con signo, cuyo signo depende de la orientación del marco o de la paridad de la permutación de los vectores. Esto significa que el producto se niega si la orientación se invierte, por ejemplo, por una transformación de paridad, por lo que se describe más adecuadamente como un pseudoescalar si la orientación puede cambiar.

Hallar el producto cruzado de dos vectores (método fácil)

Dados dos vectores linealmente independientes a y b, el producto cruzado, a × b (léase “a cruzar b”), es un vector que es perpendicular a ambos, a y b,[2] y por tanto normal al plano que los contiene. Tiene muchas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería y programación informática. No debe confundirse con el producto punto (producto de proyección).
Si dos vectores tienen la misma dirección o tienen la dirección exactamente opuesta el uno del otro (es decir, no son linealmente independientes), o si alguno de ellos tiene longitud cero, entonces su producto cruzado es cero[3] De forma más general, la magnitud del producto es igual al área de un paralelogramo con los vectores por lados; en particular, la magnitud del producto de dos vectores perpendiculares es el producto de sus longitudes.
Al igual que el producto punto, depende de la métrica del espacio euclidiano, pero a diferencia del producto punto, también depende de la elección de la orientación o “handedness”. El producto puede generalizarse de varias maneras; puede hacerse independiente de la orientación cambiando el resultado a un pseudovector, o el producto exterior de vectores puede utilizarse en dimensiones arbitrarias con un resultado bivectorial o de 2 formas. Además, utilizando la orientación y la estructura métrica igual que para el producto cruzado tradicional de 3 dimensiones, se puede, en n dimensiones, tomar el producto de n – 1 vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos. Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, sólo existe en tres y siete dimensiones[4] (Véase § Generalizaciones, más adelante, para otras dimensiones).

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