Procesos infinitos y la noción de límite

Demuestra la afirmación utilizando la definición ε, δ de un límite.

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo apaisado. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección vamos a ver la definición precisa y matemática de los tres tipos de límites que hemos visto en este capítulo. Veremos la definición precisa de los límites en puntos finitos que tienen valores finitos, los límites que son infinitos y los límites en el infinito. También daremos la definición precisa y matemática de continuidad.
Lo que la definición nos dice es que para cualquier número \(\varepsilon > 0\) que elijamos podemos ir a nuestra gráfica y trazar dos líneas horizontales en \(L + \varepsilon \) y \(L – \varepsilon \) como se muestra en la gráfica anterior. Luego, en algún lugar del mundo hay otro número \(\delta > 0\), que tendremos que determinar, que nos permitirá añadir dos líneas verticales a nuestra gráfica en \(a + \delta \) y \(a – \delta \).

Fórmula de los límites de una función

Mis primeras investigaciones comenzaron con el cálculo y los límites, lo que me llevó a descubrir las diferencias entre las teorías matemáticas y las creencias cognitivas de muchos individuos. (Por ejemplo, el límite “cero punto nueve que se repite” tiene un límite matemático igual a uno, pero cognitivamente se tiende a ver el concepto como algo que se acerca cada vez más a uno, sin llegar a alcanzarlo). A lo largo de los años se ha ido aclarando la razón de esta distinción. El cerebro primitivo se da cuenta del movimiento. De ahí que la noción mental de una secuencia de puntos que tiende a un límite se centre más en los puntos en movimiento que en el punto límite. El concepto de límite se concibe primero como un proceso y luego como un concepto. Por tanto, es susceptible de ser analizado en términos de la teoría de los conceptos. En el caso del límite, el proceso que tiende a un límite es un proceso potencial que puede no alcanzar nunca su límite (puede incluso no tener un procedimiento finito explícito para llevar a cabo el proceso de límite). Esto da lugar a un conflicto cognitivo en términos de imágenes cognitivas que entran en conflicto con la definición formal. Un “valor móvil” que tiende a cero es visto como un número arbitrariamente pequeño, un infinitesimal cognitivo. Mis artículos posteriores analizan este desarrollo teórico más amplio.

Definición de límite

A estas alturas ya has pasado de la definición muy informal de un límite en la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. En este punto, deberías tener un sentido intuitivo muy fuerte de lo que significa el límite de una función y cómo puedes encontrarlo. En esta sección, convertimos esta idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando un lenguaje matemático preciso. La definición formal de un límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrará al principio de su estudio del cálculo; sin embargo, vale la pena cualquier esfuerzo que haga para reconciliarla con su noción intuitiva de un límite. La comprensión de esta definición es la llave que abre la puerta a una mejor comprensión del cálculo.
Esta definición puede parecer bastante compleja desde el punto de vista matemático, pero resulta más fácil de entender si la desglosamos frase a frase. El enunciado en sí implica algo llamado cuantificador universal (para todo \(ε>0\)), un cuantificador existencial (existe un \(δ>0\)) y, por último, un enunciado condicional (si \(0<|x-a|<δ\), entonces \(|f(x)-L|<ε)\). Veamos la tabla, que desglosa la definición y traduce cada parte.

Definición épsilon-delta de la calculadora de límites

Algunas funciones “despegan” en sentido positivo o negativo (aumentan o disminuyen sin límite) cerca de ciertos valores de la variable independiente. Cuando esto ocurre, se dice que la función tiene un límite infinito; de ahí que se escriba . Observe también que la función tiene una asíntota vertical en x = c si cualquiera de los límites anteriores se cumple.
En general, una función fraccionaria tendrá un límite infinito si el límite del denominador es cero y el límite del numerador no es cero. El signo del límite infinito viene determinado por el signo del cociente del numerador y el denominador en valores cercanos al número al que se aproxima la variable independiente.
A medida que x se aproxima a 0, el numerador es siempre positivo y el denominador se aproxima a 0 y es siempre positivo; por tanto, la función aumenta sin límite y . La función tiene una asíntota vertical en x = 0 (ver Figura ).
A medida que x se aproxima a 2 por la izquierda, el numerador se aproxima a 5 y el denominador se aproxima a 0 a través de valores negativos; por tanto, la función decrece sin límite y . La función tiene una asíntota vertical en x = 2.

Acerca del autor

admin

Ver todos los artículos