Leyes o propiedades de los exponentes

Leyes o propiedades de los exponentes

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Recuerda que un exponente indica la multiplicación repetida de una misma cantidad. Por ejemplo, en la expresión \(a^m\), el exponente \(m\) nos indica cuántas veces utilizamos la base \(a\) como factor.
Cuando combinamos términos semejantes sumando y restando, necesitamos tener la misma base con el mismo exponente. Pero cuando multiplicamos y dividimos, los exponentes pueden ser diferentes, y a veces las bases también pueden ser diferentes.
Fíjate, en cada caso las bases eran las mismas y restamos exponentes. Vemos que \(dfrac{x^5}{x^2}} es \(x^{5-2}\) o \(x^3\). Vemos que \(\dfrac{x^2}{x^3}\ es o \(\dfrac{1}{x}\). Cuando el exponente mayor estaba en el numerador, nos quedamos con factores en el numerador. Cuando el exponente más grande estaba en el denominador, nos quedamos con factores en el denominador–fíjate en el numerador de 1. Cuando todos los factores en el numerador se han eliminado, recuerda que esto es realmente dividir los factores a uno, y por lo tanto necesitamos un 1 en el numerador. \(\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=1\). Esto nos lleva a la propiedad del cociente de los exponentes.

Retroalimentación

Gráficas de y = bx para varias bases b: base 10, base e, base 2, base 1/2. Cada curva pasa por el punto (0, 1) porque cualquier número distinto de cero elevado a la potencia de 0 es 1. En x = 1, el valor de y es igual a la base porque cualquier número elevado a la potencia de 1 es el propio número.
La exponenciación es una operación matemática, escrita como bn, que involucra dos números, la base b y el exponente o potencia n, y se pronuncia como «b elevado a la potencia de n».[1][2] Cuando n es un entero positivo, la exponenciación corresponde a la multiplicación repetida de la base: es decir, bn es el producto de multiplicar n bases:[2]
El exponente suele aparecer como un superíndice a la derecha de la base. En ese caso, bn se llama «b elevado a la enésima potencia», «b elevado a la potencia de n»,[1] «la enésima potencia de b», «b a la enésima potencia»,[3] o más brevemente como «b a la enésima».
Se tiene b1 = b, y, para cualesquiera enteros positivos m y n, se tiene bn ⋅ bm = bn+m. Para extender esta propiedad a exponentes enteros no positivos, se define b0 como 1, y b-n (con n un entero positivo y b no cero) como 1/bn. En particular, b-1 es igual a 1/b, el recíproco de b.

Leyes de los exponentes con ejemplos

Observa que estos dos valores son inconvenientes para escribirlos en notación decimal normal porque hay muchos dígitos que escribir. Cuando los valores son muy grandes o muy pequeños suele ser más manejable escribir los numerales utilizando la notación científica. Notación científica – Wikipedia, la enciclopedia libre
La notación científica es una representación que utiliza un número decimal por una potencia de diez. El valor decimal suele escribirse con un dígito, no un cero, delante del punto decimal, y cuando se multiplica por una potencia de 10, la notación científica es exactamente igual al valor que representa. Esto se conoce como la forma normalizada de la notación científica.
Antes, cuando estudiábamos la notación científica (sesión 13), sólo trabajábamos con números enteros. Esto significaba que permitíamos más de un dígito distinto de cero y que todas las potencias de 10 eran potencias positivas. Ahora ampliamos esa notación para incluir cualquier fracción decimal.
Escribimos la masa de un electrón (dada anteriormente) en notación científica. En primer lugar, al cambiar a la notación científica, movemos el punto decimal hasta que el primer dígito distinto de cero del número esté delante del punto decimal. A continuación, la potencia de diez representa el número de valores de posición que se mueve el punto decimal.

Calculadora de las leyes de los exponentes

Por ejemplo: x² × x³, 2³ × 2⁵, (-3)² × (-3)⁴En la multiplicación de exponentes, si las bases son iguales, hay que sumar los exponentes:  1. 2³ × 2² = (2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 2\(^{3 + 2}\) = 2⁵2.  3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3\(^{4 + 2}\) = 3⁶
3.  (-3)³ × (-3)⁴ = [(-3) × (-3) × (-3)] × [(-3) × (-3) × (-3) × (-3)] = (-3)\(^{3 + 4}\) = (-3)⁷4.  m⁵ × m³ = (m × m × m × m) × (m × m × m) = m\(^{5 + 3}\) = m⁸A partir de los ejemplos anteriores, podemos generalizar que durante la multiplicación cuando las bases son iguales entonces se suman los exponentes.  aᵐ × aⁿ = a\(^{m + n}\)En otras palabras, si ‘a’ es un número entero no nulo o un número racional no nulo y m y n son enteros positivos, elenaᵐ × aⁿ = a\(^{m + n}\)De manera similar,  (\(\frac{a}{b}))ᵐ × (\frac{a}{b})ⁿ = (\frac{a}{b})\frac(^{m + n})[(\frac{a}{b})^{m} ^{n} = (\frac{a}{b})^{m + n}]Nota:  (i) Los exponentes sólo se pueden sumar cuando las bases son iguales.  (ii) Los exponentes no se pueden sumar si las bases no son iguales como⁵ × n⁷, 2³ × 3⁴

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