Integrales triples en coordenadas esfericas

Integrales triples en coordenadas esfericas

Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

En el caso de que queramos calcular, por ejemplo, la masa de un objeto que es invariante bajo rotaciones alrededor del origen, es ventajoso utilizar otra generalización de las coordenadas polares a tres dimensiones. El sistema de coordenadas se llama coordenadas esféricas.
La coordenada esférica \(\theta\) es la misma que la coordenada cilíndrica \(\theta\text{.}\) La coordenada esférica \(\varphi\) es nueva. Va desde \(0\) (en el eje positivo \(z\)) hasta \(\pi\) (en el eje negativo \(z\)). Las coordenadas cartesianas y esféricas están relacionadas por
Las dimensiones del «cubo» aproximado en coordenadas esféricas son (esencialmente) \dee{rho}) por \rho{varphi}) por \rho{sin{varphi}) (Estas dimensiones se derivan con más detalle en la siguiente sección.) Así que el cubo aproximado tiene un volumen (esencialmente)
He aquí una explicación de las longitudes de las aristas dadas en la figura anterior. Cada una de las 12 aristas del cubo se forma manteniendo fijas dos de las tres coordenadas (\rho\text{,}) (\theta\text{,}) (\varphi\) y variando la tercera.

Evaluación de una integral triple en coordenadas esféricas

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICASOtro sistema de coordenadas útil en tres dimensiones es el sistema de coordenadas esféricas. Simplifica la evaluación de integrales triples sobre regiones delimitadas por esferas o conos. 12.7
COORDENADAS ESFÉRICASLas coordenadas esféricas (r, , f) de un punto P en el espacio se muestran en la figura 1. r = |OP| es la distancia del origen a P. es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas. f es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de línea OP. 12.7
Además, la fórmula de la distancia muestra que: r 2 = x2 + y2 + z2SPH. & RECT. COORDENADAS También, la fórmula de la distancia muestra que: r 2 = x2 + y2 + z2 Utilizamos esta ecuación en la conversión de coordenadas rectangulares a esféricas. 12.7
Por tanto, las coordenadas esféricas del punto dado son: Ejemplo 2 SOLUCIÓN Así, las ecuaciones 1 dan: Observe que ≠ 3p/2 porque Por lo tanto, las coordenadas esféricas del punto dado son: (4, p/2 , 2p/3) 12,7
EVALUACIÓN DE LAS INTEGRALES TRIPLESAunque definimos las integrales triples dividiendo los sólidos en pequeñas cajas, se puede demostrar que dividiendo un sólido en pequeñas cuñas esféricas siempre se obtiene el mismo resultado. 12.7

Integración en coordenadas esféricas

Anteriormente en este capítulo mostramos cómo convertir una integral doble en coordenadas rectangulares en una integral doble en coordenadas polares para tratar más convenientemente los problemas que implican simetría circular. Una situación similar ocurre con las integrales triples, pero aquí tenemos que distinguir entre simetría cilíndrica y simetría esférica. En esta sección convertimos integrales triples en coordenadas rectangulares en una integral triple en coordenadas cilíndricas o esféricas.
Como hemos visto anteriormente, en el espacio bidimensional \(\mathbb{R}^2\) un punto con coordenadas rectangulares \((x,y)\) puede identificarse con \((r,\theta)\ en coordenadas polares y viceversa, donde \(x = r \, \cos \theta), \(y = r \, \sin \, \theta, \, r^2 = x^2 + y^2\) y \(\tan \, \theta = \left(\frac{y}{x}right)\) son las relaciones entre las variables.
En el espacio tridimensional \(\mathbb{R}^3) un punto con coordenadas rectangulares \((x,y,z)\} puede identificarse con coordenadas cilíndricas \((r, \theta, z)\} y viceversa. Podemos utilizar estas mismas relaciones de conversión, añadiendo \(z\) como la distancia vertical al punto desde el plano \((xy\)-como se muestra en \(\PageIndex{1}).

Integral triple en coordenadas esféricas para hallar el volumen

Hemos encontrado dos sistemas de coordenadas diferentes en \R^2) – los sistemas de coordenadas rectangulares y polares – y hemos visto cómo en ciertas situaciones, las coordenadas polares constituyen una alternativa conveniente. Dado que ya estamos familiarizados con el sistema de coordenadas cartesianas para \R^3\text{,}\}, a continuación investigaremos los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas (cada uno de los cuales se basa en las coordenadas polares en \R^2\}). En lo que sigue, veremos cómo convertir entre los diferentes sistemas de coordenadas, cómo evaluar integrales triples usando ellos, y algunas situaciones en las que estos otros sistemas de coordenadas resultan ventajosos.
En las siguientes cuestiones, investigamos los dos nuevos sistemas de coordenadas que son objeto de esta sección: coordenadas cilíndricas y esféricas. Nuestro objetivo es considerar algunos ejemplos de cómo convertir de coordenadas rectangulares a cada uno de estos sistemas, y viceversa. Los triángulos y la trigonometría resultan ser especialmente importantes.

Acerca del autor

admin

Ver todos los artículos