Formulario de integrales y derivadas

Formulario de integrales y derivadas

Integración por sustitución

La integración es un concepto importante en matemáticas y, junto con su inversa, la diferenciación, es una de las dos operaciones principales del cálculo. ¡Dada una función [latex]f[/latex] de una variable real [latex]x[/latex], y un intervalo [latex][a, b][/latex] de la recta real, se define la integral definida [latex]\int_a^b \\! f(x)\Ndx[/latex] se define informalmente como el área de la región en el plano [latex]xy[/latex]-limitada por la gráfica de [latex]f[/latex], el eje [latex]x[/latex] y las líneas verticales [latex]x=a[/latex] y [latex]x=b[/latex], de manera que el área por encima del eje [latex]x[/latex] se suma al total, y la que está por debajo del eje [latex]x[/latex] se resta del total. El término integral también puede referirse a la noción de antiderivada, una función [latex]F[/latex] cuya derivada es la función dada [latex]f[/latex].
Más rigurosamente, una vez que se conoce una antiderivada [latex]F[/latex] de [latex]f[/latex] para una función continua de valor real [latex]f[/latex] definida en un intervalo cerrado [latex][a, b][/latex], la integral definida de [latex]f[/latex] sobre ese intervalo viene dada por

Integral

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{\displaystyle {\frac {d}{dx}}left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\t\right)=f{big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}}b(x)-f{big (}x, a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}a(x)+int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\parcial}{parcial x}}f(x,t)\t,}
Así, bajo ciertas condiciones, se pueden intercambiar los operadores diferenciales integrales y parciales. Este importante resultado es particularmente útil en la diferenciación de transformadas integrales. Un ejemplo de ello es la función generadora de momentos en teoría de la probabilidad, una variación de la transformada de Laplace, que puede diferenciarse para generar los momentos de una variable aleatoria. La aplicación de la regla integral de Leibniz es esencialmente una cuestión de intercambio de límites.

Integral definida de una derivada

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{\displaystyle {\frac {d}{dx}}left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\t\right)=f{big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}}b(x)-f{big (}x, a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}a(x)+int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\parcial}{parcial x}}f(x,t)\t,}
Así, bajo ciertas condiciones, se pueden intercambiar los operadores diferenciales integrales y parciales. Este importante resultado es particularmente útil en la diferenciación de transformadas integrales. Un ejemplo de ello es la función generadora de momentos en teoría de la probabilidad, una variación de la transformada de Laplace, que puede diferenciarse para generar los momentos de una variable aleatoria. La aplicación de la regla integral de Leibniz es esencialmente una cuestión de intercambio de límites.

Hoja de fórmulas de derivadas e integrales pdf

La conclusión del teorema fundamental del cálculo puede expresarse vagamente en palabras como «la derivada de una integral de una función es esa función original», o «la diferenciación deshace el resultado de la integración».
Así que vemos que la derivada de la integral (indefinida) de esta función f(x) es f(x). (Recordatorio: este es un ejemplo, que no es suficiente para demostrar la afirmación general de que la derivada de una integral indefinida es la función original – sólo muestra que la afirmación funciona para este único ejemplo).
Ahora bien, el teorema fundamental del cálculo trata de las integrales definidas, y para una integral definida tenemos que tener cuidado de entender exactamente lo que dice el teorema y cómo se utiliza. Parte de la confusión parece provenir de la notación utilizada en el enunciado del teorema.
Piénsalo por un momento. A menos que la variable x aparezca en alguno (o en ambos) de los límites de integración, el resultado de la integral definida no implicará a x, por lo que la derivada de esa integral definida será cero. Aquí hay dos ejemplos de derivadas de tales integrales.

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