Ejemplos de sumas de riemann

Fórmula de las sumas de riemann

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos de la derecha y de la izquierda realizan la aproximación utilizando los puntos finales de la derecha y de la izquierda de cada subintervalo, respectivamente. Los métodos del máximo y del mínimo realizan la aproximación utilizando los valores de los extremos mayor y menor de cada subintervalo, respectivamente. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos se reducen a la mitad desde la parte superior izquierda a la inferior derecha.
En matemáticas, una suma de Riemann es un cierto tipo de aproximación de una integral por una suma finita. Recibe su nombre del matemático alemán del siglo XIX Bernhard Riemann. Una aplicación muy común es la aproximación del área de funciones o líneas en una gráfica, pero también de la longitud de curvas y otras aproximaciones.
La suma se calcula dividiendo la región en formas (rectángulos, trapecios, parábolas o cúbicos) que en conjunto forman una región similar a la región que se está midiendo, luego se calcula el área de cada una de estas formas y finalmente se suman todas estas pequeñas áreas. Este enfoque puede utilizarse para encontrar una aproximación numérica de una integral definida, incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita la búsqueda de una solución de forma cerrada.

Suma de riemann derecha

Explicación: Para hallar la suma de Riemann de una función dada, necesitamos aproximar el área bajo la recta o curva resultante de la función utilizando rectángulos espaciados a lo largo de subintervalos iguales de un intervalo dado. Como tenemos un intervalo dividido en subintervalos, utilizaremos rectángulos con vértices en .
Para aproximar el área bajo la curva, necesitamos encontrar las áreas de cada rectángulo en los subintervalos. Ya sabemos que el ancho o la base de cada rectángulo es porque los rectángulos están separados por unidades.  Como estamos buscando la suma de Riemann izquierda, queremos encontrar las alturas de cada rectángulo tomando los valores de cada valor de la función más a la izquierda en cada subintervalo, como sigue:
Explicación: Para encontrar la Suma de Riemann de una función dada, necesitamos aproximar el área bajo la línea o curva resultante de la función utilizando rectángulos espaciados a lo largo de subintervalos iguales de un intervalo dado. Como tenemos un intervalo dividido en subintervalos, utilizaremos rectángulos con vértices en .

Calculadora de la suma de riemann derecha

En la sección anterior definimos la integral definida de una función en \([a,b]\) como el área con signo entre la curva y el eje \(x\)–. Algunas áreas eran sencillas de calcular; terminamos la sección con una región cuya área no era sencilla de calcular. En esta sección desarrollamos una técnica para encontrar dichas áreas.
Una técnica de cálculo fundamental es responder primero a un problema dado con una aproximación, luego refinar esa aproximación para mejorarla, y después utilizar los límites en el proceso de refinamiento para encontrar la respuesta exacta. Eso es exactamente lo que haremos aquí.
Empezamos por aproximar. Podemos rodear la región con un rectángulo con altura y anchura de 4 y encontrar que el área es de aproximadamente 16 unidades cuadradas. Obviamente, se trata de una sobreaproximación; estamos incluyendo en el rectángulo un área que no está bajo la parábola.
Hay tres formas comunes de determinar la altura de estos rectángulos: la regla de la mano izquierda, la regla de la mano derecha y la regla del punto medio. La regla de la mano izquierda dice que hay que evaluar la función en el punto final de la mano izquierda del subintervalo y hacer el rectángulo de esa altura. En la Figura \(\PageIndex{2}\), el rectángulo dibujado en el intervalo \([2,3]\) tiene la altura determinada por la Regla de la Mano Izquierda; tiene una altura de \(f(2)\). (El rectángulo está etiquetado como “LHR”).

Suma de riemann ejemplos y soluciones pdf

Una técnica fundamental de cálculo es responder primero a un problema dado con una aproximación, luego refinar esa aproximación para hacerla mejor, y luego usar los límites en el proceso de refinamiento para encontrar la respuesta exacta. Esto es exactamente lo que haremos aquí para desarrollar una técnica para encontrar el área de regiones más complicadas.
Consideremos la región dada en la figura 1.1, que es el área bajo \(y=4x-x^2) en \(\left[0,4\right]\text{.}) ¿Cuál es el área con signo de esta región cuando el área por encima del eje \(x\)-es positiva y por debajo negativa?
Figura 1.1. \(f(x) = 4x-x^2\)Empezamos por aproximar. Podemos rodear la región con un rectángulo con altura y anchura de \(4\) y encontrar que el área es aproximadamente \(16\) unidades cuadradas. Evidentemente, se trata de una sobreaproximación; estamos incluyendo en el rectángulo un área que no está bajo la parábola. ¿Cómo podemos refinar nuestra aproximación para mejorarla? La clave de este apartado es esta respuesta: utilizar más rectángulos.
Utilicemos cuatro rectángulos de igual anchura de \N(1\text{. Esto divide el intervalo \(\left[0,4\right]\) en cuatro subintervalos, \(\left[0,1\right]\text{,}}) \(\left[1,2\right]\text{,}}) \(\left[2,3\right]\) y \(\left[3,4\right]\text{,}}) En cada subintervalo dibujaremos un rectángulo.

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