Nucleo e imagen de una transformacion lineal

Ejemplo de núcleo de transformación lineal

Sean \(V\) y \(W\) espacios vectoriales y sea \(T:V\rightarrow W\) una transformación lineal. Entonces, la imagen de \ T\), denotada como \mathrm{im}left( T\right)\), se define como el conjunto \[\left{T(\vec{v}):\vec{v}\\ en V\right}\] En palabras, consiste en todos los vectores en \ W\) que son iguales a \ T(\vec{v})\ para algunos \vec{v}\ en V\). El núcleo, \ker \left( T\right)\, está formado por todos los \vec{v}\in V\) tales que \(T(\vec{v})=\vec{0}\). Es decir,
Sea \(V,W\) espacios vectoriales y sea \(T:V\rightarrow W\) una transformación lineal. Entonces \(\ker \left( T\right) \subseteq V\) y \(\mathrm{im}left( T\right) \subseteq W\). De hecho, ambos son subespacios.
Consideremos en primer lugar \ker \left( T\right) .\N-. Hay que demostrar que si \(\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}) son vectores en \(\ker \left( T\right)\Ny si \(a,b\N) son escalares, entonces \N(a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}) también está en \N(\ker \left( T\right) .\N-). Pero
Primero encontraremos el núcleo de \N(T\). Consiste en todos los polinomios de \N(\mathbb{P}_1\) que tienen \N(1\N) como raíz. \N – [Inicio{alineado} \mathrm{ker}(T) & = & \{ p(x)\in \mathbb{P}_1 ~|~ p(1)=0\} \\ & = & \{ ax+b ~|~ a,b\in\mathbb{R} \mbox{ y }a+b=0\} & = & \{ ax-a ~|~ a\\\\\Nmathbb{R} \}end{aligned}] Por lo tanto, una base para \N(\mathrm{ker}(T)\Nes \N[\left\}{ x-1 \right\}\NNNoten que es un subespacio de \N(\mathbb{P}_1\N).

Calculadora de imágenes y núcleos

En matemáticas, el núcleo de un mapa lineal, también conocido como el espacio nulo o nullspace, es el subespacio lineal del dominio del mapa que se asigna al vector cero.[1][2] Es decir, dado un mapa lineal L : V → W entre dos espacios vectoriales V y W, el núcleo de L es el espacio vectorial de todos los elementos v de V tales que L(v) = 0, donde 0 denota el vector cero en W,[3] o más simbólicamente:
Cuando V es un espacio de producto interno, el cociente V / ker(L) puede identificarse con el complemento ortogonal en V de ker(L). Esta es la generalización a los operadores lineales del espacio de filas, o coimagen, de una matriz.
La noción de núcleo también tiene sentido para los homomorfismos de módulos, que son generalizaciones de los espacios vectoriales donde los escalares son elementos de un anillo, en lugar de un campo. El dominio del mapeo es un módulo, y el núcleo constituye un submódulo. Aquí, los conceptos de rango y nulidad no se aplican necesariamente.
El núcleo de este mapa lineal es el conjunto de soluciones de la ecuación Ax = 0, donde 0 se entiende como el vector cero. La dimensión del núcleo de A se denomina nulidad de A. En notación de constructor de conjuntos,

Núcleo e imagen de una calculadora de transformaciones lineales

Sean #V# y #W# espacios vectoriales. Dado que un mapeo lineal #V a W# es, por supuesto, sólo un caso especial de un mapeo general, podemos hablar, por ejemplo, de la imagen de un vector o de la imagen de un subconjunto de #V# y de la imagen inversa completa de un subconjunto de #W#.
Denotamos la imagen inversa completa de #E# bajo #L# por #L^{-1}(E)# o #L^{flecha izquierda}(E)#. La primera notación es la más común en matemáticas, pero puede llevar a confusión con la notación para la inversa de un mapeo. Para evitar la confusión al utilizar esta notación solemos añadir el significado en palabras, como “imagen inversa completa #L^{-1}(E)# de #E#”.
Notación Como se ha indicado anteriormente, una matriz #(m\ veces n)# se utiliza también para referirse al mapa lineal #L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m# determinado por ella (dado por \( L_A(\vec{x}) = A\vec{x})). De esta forma se definen también la imagen y el núcleo de #A#: #\im{A}=\im{L_A}# en #\ker{A} = \ker{L_A}#.
Ejemplo Sea el mapeo #L:\mathbb{R}\to\mathbb{R}# dado por #L(x) = a\, x+ b#. El espacio imagen #\im{L}# es igual a #\mathbb{R}# si #a\ne0#. Pero si #a=0# y #b\ne0# (por lo que #L# es un mapeo constante distinto de #0#), entonces el espacio imagen es #{b\}#, no un subespacio lineal. El núcleo #\ker{L}# está formado por la solución de #a\N,x+b=0# y por tanto es igual a

Cómo encontrar la imagen de una matriz

Sean \(V\) y \(W\) espacios vectoriales y sea \(T:V\rightarrow W\) una transformación lineal. Entonces, la imagen de \ T\) denotado como \mathrm{im}left( T\right)\) se define para ser el conjunto \[\left\ T(\vec{v}):\vec{v}\ en V\right}\}] En palabras, se compone de todos los vectores en \ W\ que es igual a \ T(\vec{v})\) para algunos \ ~ vec{v}\ en V\). El núcleo, \ker \left( T\right)\, está formado por todos los \vec{v}\in V\) tales que \(T(\vec{v})=\vec{0}\). Es decir,
Sea \(V,W\) espacios vectoriales y sea \(T:V\rightarrow W\) una transformación lineal. Entonces \(\ker \left( T\right) \subseteq V\) y \(\mathrm{im}left( T\right) \subseteq W\). De hecho, ambos son subespacios.
Consideremos en primer lugar \ker \left( T\right) .\N-. Hay que demostrar que si \(\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}) son vectores en \(\ker \left( T\right)\Ny si \(a,b\N) son escalares, entonces \N(a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}) también está en \N(\ker \left( T\right) .\N-). Pero
Primero encontraremos el núcleo de \N(T\). Consiste en todos los polinomios de \N(\mathbb{P}_1\) que tienen \N(1\N) como raíz. \N – [Inicio{alineado} \mathrm{ker}(T) & = & \{ p(x)\in \mathbb{P}_1 ~|~ p(1)=0\} \\ & = & \{ ax+b ~|~ a,b\in\mathbb{R} \mbox{ y }a+b=0\} & = & \{ ax-a ~|~ a\\\\\Nmathbb{R} \}end{aligned}] Por lo tanto, una base para \N(\mathrm{ker}(T)\Nes \N[\left\}{ x-1 \right\}\NNNoten que es un subespacio de \N(\mathbb{P}_1\N).

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