Representacion de funciones mediante la serie de taylor ejercicios resueltos

Fórmula de la serie de taylor

En la sección 8.6, mostramos cómo ciertas funciones pueden ser representadas por una función de serie de potencias. En el apartado 8.7, mostramos cómo podemos aproximar funciones con polinomios, siempre que se disponga de suficiente información de la derivada. En esta sección combinamos estos conceptos: si una función \(f(x)\Nes infinitamente diferenciable, mostramos cómo representarla con una función de serie de potencias.
La diferencia entre un polinomio de Taylor y una serie de Taylor es que el primero es un polinomio, que contiene sólo un número finito de términos, mientras que el segundo es una serie, una suma de un conjunto infinito de términos. Al crear el polinomio de Taylor de grado \(n\) para una función \(f(x)\) en \(x=c\), necesitamos evaluar \(f\), y las primeras \(n\) derivadas de \(f\), en \(x=c\). Al crear la serie de Taylor de \(f\), ayuda a encontrar un patrón que describe la \(n^texto{ésima}) derivada de \(f\) en \(x=c\).Demostramos esto en los dos siguientes ejemplos.
Obsérvese como \(f\,^(n)}(0)=0) cuando \(n\) es impar, \(f\,^(n)}(0)=1\) cuando \(n\) es divisible por \(4\), y \(f\,^(n)}(0)=-1\) cuando \(n\) es par pero no divisible por 4. Así la serie de Maclaurin de \(\cos x\) es

Explicación de las series de taylor

En la sección anterior, definimos las series de Taylor y mostramos cómo encontrar las series de Taylor para varias funciones comunes calculando explícitamente los coeficientes de los polinomios de Taylor. En esta sección mostramos cómo utilizar esas series de Taylor para derivar series de Taylor para otras funciones. A continuación, presentamos dos aplicaciones comunes de las series de potencias. En primer lugar, mostramos cómo las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, mostramos cómo las series de potencias pueden utilizarse para evaluar integrales cuando la antiderivada del integrando no puede expresarse en términos de funciones elementales. En un ejemplo, consideramos una integral que surge frecuentemente en la teoría de la probabilidad.
Nuestro primer objetivo en esta sección es determinar la serie de Maclaurin para la función para todos los números reales La serie de Maclaurin para esta función se conoce como la serie binomial. Comenzamos considerando el caso más sencillo: es un número entero no negativo. Recordamos que, para se puede escribir como
Las expresiones del lado derecho se conocen como expansiones binomiales y los coeficientes se conocen como coeficientes binomiales. Más generalmente, para cualquier entero no negativo el coeficiente binomial de en la expansión binomial de viene dado por

Ejemplos y soluciones de series de taylor

donde cnc_{n}cn son los coeficientes de cada término de la serie y aaa es una constante. Las series de potencias son importantes porque podemos utilizarlas para representar una función. Por ejemplo, la representación en serie de potencias de la función f(x)=1(1-x)(para∣x∣f(x) = \frac{1}{(1-x)} (para |x|f(x)=(1-x)1(para∣x∣ < 1)1) es
donde a=1a = 1a=1 y cn=1c_{n} = 1cn=1.Sin embargo, ¿qué pasa si quiero encontrar una representación en serie de potencias para la integral de 1(1-x)\frac{1}{(1-x)}(1-x)1? Todo lo que hay que hacer es integrar la serie de potencias.
Aquí es donde entran en juego las series de Taylor y Maclaurin. Las series de Taylor y Maclaurin son muy importantes cuando queremos expresar una función como una serie de potencias. ¡Por ejemplo, exe^{x}ex y cosx\cos xcosx se pueden expresar como una serie de potencias! En primer lugar, examinaremos qué son las series de Taylor, y luego utilizaremos la expansión de las series de Taylor para encontrar los primeros términos de la serie. Luego aprenderemos a representar alguna función como una serie de Taylor, e incluso a diferenciarlas o integrarlas. Por último, veremos cómo derivar polinomios de Taylor a partir de series de Taylor, y luego usarlos para aproximar funciones. Obsérvese que también veremos las series de Maclaurin.

Serie de taylor preguntas y respuestas pdf

¡En los ejercicios 9 – 14, verifique que la elección dada de \(n\) en la estimación del resto \( |R_n|≤\dfrac{M}{(n+1)! }(x-a)^{n+1}\), donde \(M\) es el valor máximo de \( ∣f^{(n+1)}(z)∣\) en el intervalo entre \(a\) y el punto indicado, produce \( |R_n|≤\frac{1}{1000}\). Hallar el valor del polinomio de Taylor \( p_n\) de \( f\) en el punto indicado.
\( \dfrac{d^2}{dx^2}x^{1/3}=−\dfrac{2}{9x^{5/3}}≥−0. 00092…\) cuando \( x≥28\) por lo que la estimación del resto se aplica a la aproximación lineal \( x^{1/3}≈p_1(27)=3+\dfrac{x-27}{27}\), lo que da \( (28)^{1/3}≈3+\frac{1}{27}=3. \bar{037}\), mientras que \( (28)^{1/3}≈3,03658.\}
Utilizando la estimación \( \dfrac{2^{10}}{10!}<0,000283\}) podemos utilizar la expansión de Taylor de orden 9 para estimar \( e^x\) en \( x=2\) ya que \( e^2≈p_9(2)=1+2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{6}+⋯+\frac{2^9}{9!}=7,3887)… mientras que \( e^2≈7,3891.\f)
¡En los ejercicios 17 – 20, halla el menor valor de \(n\) tal que el resto estimado \( |R_n|≤\dfrac{M}{(n+1)! }(x-a)^{n+1}\), donde \(M\) es el valor máximo de \( ∣f^{(n+1)}(z)∣\) en el intervalo entre \(a\) y el punto indicado, produzca \( |R_n|≤\frac{1}{1000}\) en el intervalo indicado.

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