Definicion de sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de ecuaciones lineales

\(a_1x_1+a_2x_2+ \cdots+ a_nx_n=b\) se llama ecuación lineal en \(n\) variables \(x_1, x_2, \cdots, x_n\), donde \(a_i \in \mathbb{R}) es el coeficiente de \(x_i\), para \(i=1,\cdots , n\) y \(b \in \mathbb{R}) es el término constante.
También podemos encontrar la solución utilizando la geometría. Recuerde que las ecuaciones lineales en dos variables representan líneas en dos dimensiones. A partir de la gráfica de la figura \(\PageIndex{1}), podemos ver que el punto de intersección es \((7,5,4,5)\N.)
2. Un sistema de ecuaciones lineales en las variables, \(x_{1},x_{2}\cdots ,x_{n}\cdots), es una colección finita de ecuaciones lineales. \begin{eqnarray*} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2} \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&b_{m} \donde \N(a_{ij}\N) y \N(b_{j}\N) son números reales. Lo anterior es un sistema de ecuaciones en las variables, \(x_{1},x_{2}\cdots ,x_{n}). Escrito de forma más sencilla en términos de notación sumatoria, lo anterior se puede escribir de la forma \[\_sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}, \text{}i=1,2,3,\cdots ,m\].

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Nuestro estudio del álgebra lineal comenzará con el examen de los sistemas de ecuaciones lineales. Este tipo de ecuaciones lineales aparecen con frecuencia en las matemáticas aplicadas para modelizar ciertos fenómenos. Por ejemplo, en la programación lineal, el beneficio se suele maximizar sujeto a ciertas restricciones relacionadas con la mano de obra, la disponibilidad de tiempo, etc. Estas restricciones pueden ponerse en forma de un sistema lineal de ecuaciones.
Una ecuación lineal es una ecuación en la que cada término es una constante o el producto de una constante por la primera potencia de una variable. Una ecuación de este tipo equivale a igualar a cero un polinomio de primer grado. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales son los siguientes:
Para que una ecuación sea lineal, no necesariamente tiene que estar en forma estándar (todos los términos con variables en el lado izquierdo). Las constantes de las ecuaciones lineales no tienen por qué ser integrales (ni siquiera racionales).
Las ecuaciones lineales se clasifican por el número de variables que implican. La clasificación es sencilla: una ecuación con n variables se llama ecuación lineal en n variables. Si n es 2 la ecuación lineal es geométricamente una recta, y si n es 3 es un plano. La forma geométrica para un n general se denomina a veces hiperplano afín. Sin embargo, utilizaremos simplemente la palabra n-plano para todo n.

Sistema de ecuaciones

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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales puede aproximarse a menudo mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se realiza un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.

Desigualdad lineal

En los ejemplos anteriores, resultaba útil, desde una perspectiva psicológica, sustituir una lista de cuatro números (que representaban el flujo de tráfico) o de 841 números (que representaban un código QR) por un único dato: un punto en algún punto R
Este es un concepto poderoso; a partir de la sección 2.2, registraremos casi exclusivamente soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de esta manera.Antes de discutir cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales a continuación, es útil ver algunas imágenes de cómo se ven estos conjuntos de soluciones geométricamente.
que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas a la vez. En otras palabras, como un punto que se encuentra en ambas líneas simultáneamente. Podemos ver en la imagen anterior que sólo hay un punto en el que se cruzan las rectas: por tanto, este sistema tiene exactamente una solución. (Esta solución es (
Cada ecuación define individualmente un plano en el espacio. Las soluciones del sistema de ambas ecuaciones son los puntos que se encuentran en ambos planos. Podemos ver en la imagen de abajo que los planos se cruzan en una línea. En particular, este sistema tiene infinitas soluciones.

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