Axiomas y teoremas de la probabilidad

Problemas resueltos sobre los axiomas de la probabilidad

Los axiomas de Kolmogorov son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducidos por Andrey Kolmogorov en 1933[1]. Estos axiomas siguen siendo fundamentales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real[2]. Un enfoque alternativo para formalizar la probabilidad, favorecido por algunos bayesianos, viene dado por el teorema de Cox[3].
Algunos autores consideran espacios de probabilidad meramente aditivos, en cuyo caso sólo se necesita un álgebra de conjuntos, en lugar de una σ-álgebra[4] Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.
A partir de los axiomas de Kolmogorov, se pueden deducir otras reglas útiles para el estudio de las probabilidades. Las pruebas[5][6][7] de estas reglas son un procedimiento muy perspicaz que ilustra el poder del tercer axioma, y su interacción con los dos axiomas restantes. A continuación se muestran cuatro de los corolarios inmediatos y sus pruebas:
Es decir, la probabilidad de que ocurra un suceso en A o en B es la suma de la probabilidad de un suceso en A y la probabilidad de un suceso en B, menos la probabilidad de un suceso que esté tanto en A como en B. La prueba de esto es la siguiente:

Axiomas de las fórmulas de probabilidad

Los axiomas de Kolmogorov son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducidos por Andrey Kolmogorov en 1933[1]. Estos axiomas siguen siendo fundamentales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real[2]. Un enfoque alternativo para formalizar la probabilidad, favorecido por algunos bayesianos, viene dado por el teorema de Cox[3].
Algunos autores consideran espacios de probabilidad meramente aditivos, en cuyo caso sólo se necesita un álgebra de conjuntos, en lugar de una σ-álgebra[4] Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.
A partir de los axiomas de Kolmogorov, se pueden deducir otras reglas útiles para el estudio de las probabilidades. Las pruebas[5][6][7] de estas reglas son un procedimiento muy perspicaz que ilustra el poder del tercer axioma, y su interacción con los dos axiomas restantes. A continuación se muestran cuatro de los corolarios inmediatos y sus pruebas:
Es decir, la probabilidad de que ocurra un suceso en A o en B es la suma de la probabilidad de un suceso en A y la probabilidad de un suceso en B, menos la probabilidad de un suceso que esté tanto en A como en B. La prueba de esto es la siguiente:

Qué son los axiomas de la probabilidad

En matemáticas, una teoría como la de la probabilidad se desarrolla de forma axiomática. Esto significa que empezamos con leyes o principios fundamentales llamados axiomas, que son los supuestos en los que se basa la teoría. A continuación, derivamos las consecuencias de estos axiomas mediante pruebas: argumentos deductivos que establecen principios adicionales que se derivan de los axiomas. Estos principios adicionales se denominan teoremas.
En el caso de la teoría de la probabilidad, podemos construir toda la teoría a partir de sólo tres axiomas. Y eso facilita mucho ciertas tareas. Por ejemplo, hace que sea fácil establecer que cualquiera que viole una ley de la probabilidad puede ser fichado. Porque, si se viola una ley de la probabilidad, también se debe violar uno de los tres axiomas que implican la ley que se ha violado. Y con sólo tres axiomas que comprobar, podemos verificar con bastante rapidez que violar un axioma siempre te hace vulnerable a un libro holandés.
El enfoque axiomático también es útil por muchas otras razones. Por ejemplo, podemos programar los axiomas en un ordenador y utilizarlo para resolver problemas del mundo real. O podemos usar los axiomas para verificar que la teoría es consistente: si podemos establecer que los axiomas no se contradicen entre sí, entonces sabemos que la teoría tiene sentido. Los axiomas también son una forma útil de resumir una teoría, lo que facilita su comparación con teorías alternativas.

Ejemplos de axiomas de probabilidad

Los axiomas de Kolmogorov son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducidos por Andrey Kolmogorov en 1933[1]. Estos axiomas siguen siendo fundamentales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real[2]. Un enfoque alternativo para formalizar la probabilidad, favorecido por algunos bayesianos, viene dado por el teorema de Cox[3].
Algunos autores consideran espacios de probabilidad meramente aditivos, en cuyo caso sólo se necesita un álgebra de conjuntos, en lugar de una σ-álgebra[4] Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.
A partir de los axiomas de Kolmogorov, se pueden deducir otras reglas útiles para el estudio de las probabilidades. Las pruebas[5][6][7] de estas reglas son un procedimiento muy perspicaz que ilustra el poder del tercer axioma, y su interacción con los dos axiomas restantes. A continuación se muestran cuatro de los corolarios inmediatos y sus pruebas:
Es decir, la probabilidad de que ocurra un suceso en A o en B es la suma de la probabilidad de un suceso en A y la probabilidad de un suceso en B, menos la probabilidad de un suceso que esté tanto en A como en B. La prueba de esto es la siguiente:

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