4.7 representación de funciones mediante la serie de taylor

4.7 representación de funciones mediante la serie de taylor

4.7 representación de funciones mediante la serie de taylor en línea

En matemáticas, la serie de Taylor de una función es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un único punto. Para la mayoría de las funciones comunes, la función y la suma de su serie de Taylor son iguales cerca de este punto. Las series de Taylor deben su nombre a Brook Taylor, que las introdujo en 1715.
Si el cero es el punto en el que se consideran las derivadas, una serie de Taylor también se llama serie de Maclaurin, en honor a Colin Maclaurin, que utilizó ampliamente este caso especial de serie de Taylor en el siglo XVIII.
La suma parcial formada por los primeros n + 1 términos de una serie de Taylor es un polinomio de grado n que se denomina nº polinomio de Taylor de la función. Los polinomios de Taylor son aproximaciones de una función, que se vuelven generalmente mejores a medida que aumenta n. El teorema de Taylor proporciona estimaciones cuantitativas sobre el error introducido por el uso de tales aproximaciones. Si la serie de Taylor de una función es convergente, su suma es el límite de la secuencia infinita de los polinomios de Taylor. Una función puede diferir de la suma de su serie de Taylor, incluso si su serie de Taylor es convergente. Una función es analítica en un punto x si es igual a la suma de sus series de Taylor en algún intervalo abierto (o disco abierto en el plano complejo) que contenga a x. Esto implica que la función es analítica en cada punto del intervalo (o disco).

Representar la función como calculadora de series de potencias

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En la sección anterior empezamos a ver la escritura de una representación en serie de potencias de una función. El problema con el enfoque de esa sección es que todo se reducía a la necesidad de poder relacionar la función de alguna manera con
Así que, sin quitarle nada al proceso que vimos en la sección anterior, lo que tenemos que hacer es idear un método más general para escribir una representación en serie de potencias de una función.
\[f\left( x \right) = \sum_limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{{\left( {x – a} \right)}^n} = {c_0} + {c_1}{Izquierda( {x – a} \\}derecha) + {c_2}{Izquierda( {x – a} \}derecha)^2} + {c_3}{Izquierda( {x – a} \\NDerecha)^3} + {c_4} {izquierda( {x – a} \ derecha)^4} + \cdots \c]

Calculadora multivariable de polinomios de segundo orden de taylor

Para una función fx,y con un comportamiento suficientemente bueno, el cambio Δf≡fx+dx,y+dy-fx,y se aproxima por la diferencial df≡fxx,y dx+fyx,y dy. Dicha diferencial suele llamarse diferencial total o exacta. La generalización a funciones de más de dos variables es obvia.
Contrariamente a la lógica del cálculo de una sola variable, donde la derivada se define primero y la diferencial se define en términos de la derivada como la derivada por un incremento, para las funciones de varias variables la diferencial debe definirse primero. Si una función tiene una diferencial, ¡se llama diferenciable!
Las funciones de varias variables se pueden aproximar mediante polinomios de Taylor. La tabla 4.7.1 enumera los polinomios de Taylor de grado uno y dos para la función fx,y. El punto de expansión se toma como a,b.
En la tabla 4.7.1 se supone la igualdad de las derivadas parciales mixtas fxy y fyx. Por lo tanto, en lugar de tener dos términos separados que contienen el producto h k, ambos se combinan en el doble de uno. A veces es útil escribir los términos de segundo grado como la mitad de la forma cuadrática

Derivada de una serie de taylor

donde cnc_{n}cn son los coeficientes de cada término de la serie y aaa es una constante. Las series de potencias son importantes porque podemos utilizarlas para representar una función. Por ejemplo, la representación en serie de potencias de la función f(x)=1(1-x)(para∣x∣f(x) = \frac{1}{(1-x)} (para |x|f(x)=(1-x)1(para∣x∣ < 1)1) es
donde a=1a = 1a=1 y cn=1c_{n} = 1cn=1.Sin embargo, ¿qué pasa si quiero encontrar una representación en serie de potencias para la integral de 1(1-x)\frac{1}{(1-x)}(1-x)1? Todo lo que hay que hacer es integrar la serie de potencias.
Aquí es donde entran en juego las series de Taylor y Maclaurin. Las series de Taylor y Maclaurin son muy importantes cuando queremos expresar una función como una serie de potencias. ¡Por ejemplo, exe^{x}ex y cosx\cos xcosx se pueden expresar como una serie de potencias! En primer lugar, examinaremos qué son las series de Taylor, y luego utilizaremos la expansión de las series de Taylor para encontrar los primeros términos de la serie. Luego aprenderemos a representar alguna función como una serie de Taylor, e incluso a diferenciarlas o integrarlas. Por último, veremos cómo derivar polinomios de Taylor a partir de series de Taylor, y luego usarlos para aproximar funciones. Obsérvese que también veremos las series de Maclaurin.

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